Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení rychlostí

Z WikiSkript

Molekuly plynu se neustále pohybují a sráží, každá z nich má při stejné hmotnosti a jiné rychlosti rozdílnou kinetickou energii. Statistické rozdělení rychlostí náhodného pohybu částice plynu je velmi dobře popsáno Maxwellovým-Boltzmannovým rozdělením. Hustota pravděpodobnosti[pozn 1] má tvar:

f(v) = \sqrt{\left(\frac{m}{2 \pi kT}\right)^3}\, 4\pi v^2 \mathrm{e}^{\left(- \frac{mv^2}{2kT}\right)}
kde m je hmotnost molekuly, k je Boltzmannova konstanta (1,38.10-23 J.K-1 a T je absolutní teplota. Důležitým parametrem je maximum, tedy nejpravděpodobnější rychlost. V řeči statistiky jde vlastně o modus:
 v_{mp} = \sqrt{\frac{2kT}{m}}

Maxwellovo-Boltzmanovo rozdělení není symetrické, to znamená, že se nejedná o střední hodnotu. Fyzikální interpretace je taková, že jde o rychlost, s jakou se pohybuje nejvíce částic v systému, ne však o průměrnou rychlost jednotlivých částic. Ta se dá spočítat integrací: (řeší se substitucí u=v2 a dále metodou per partes)

<v>  = \int_{0}^{\infty}v f(v) dv=  \int_{0}^{\infty} \sqrt{\left(\frac{m}{2 \pi kT}\right)^3}\, 4\pi v^3 \mathrm{e}^{\left(- \frac{mv^2}{2kT}\right)} dv =\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}


Chování plynů, které lze popsat pomocí Maxwellova-Bolztmanova rozdělení, závisí na teplotě. Čím je vyšší teplota, tím je maximum rychlostí posunuto více směrem k vyšším hodnotám a sama křivka je plošší.

Příklady Maxwellova-Boltzmanova rozdělení pro několik hodnot parametru a=\sqrt{\frac{kT}{m}\,}


Odkazy[✎ upravit | ☲ editovat zdroj]

Poznámky pod čarou[✎ upravit | ☲ editovat zdroj]

  1. Pro připomenutí nebo vysvětlení, hustota pravděpodobnosti je funkce, která popisuje pravděpodobností chování. Například pokud nás zajímá pravděpodobnost, že rychlost náhodně vybrané částice leží v intervalu v1v2, pak je řešením integrál z hustoty pravděpodobnosti s integračními mezemi od v1 do v2.

Zdroj[✎ upravit | ☲ editovat zdroj]