Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení rychlostí

Z WikiSkript

Molekuly plynu se neustále pohybují a srážejí, každá z nich má při stejné hmotnosti a jiné rychlosti rozdílnou kinetickou energii. Statistické rozdělení rychlostí náhodného pohybu částice plynu je velmi dobře popsáno Maxwellovým-Boltzmannovým rozdělením. Hustota pravděpodobnosti[pozn 1] rozdělení velikosti rychlosti molekuly ideálního plynu má tvar:

[math]f(v) = \sqrt{\left(\frac{m}{2 \pi kT}\right)^3}\, 4\pi v^2 \mathrm{e}^{\left(- \frac{mv^2}{2kT}\right)}[/math] kde m je hmotnost molekuly, k je Boltzmannova konstanta (1,38.10-23 J.K-1) a T absolutní teplota.

Nejdůležitější charakteristikou je střední kvadratická hodnota (protože se používá k vyjádření střední kinetické energie molekul):

[math] v_{k} = \sqrt{\frac{3kT}{m}} [/math]

Důležitým parametrem je také maximum, tedy nejpravděpodobnější rychlost (v řeči statistiky jde vlastně o modus):

[math] v_{p} = \sqrt{\frac{2kT}{m}} [/math]

Najde se snadno derivováním hustoty.

Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení není symetrické, ale kladně sešikmené, tzn. nejedná se zároveň o jeho střední hodnotu. Fyzikální interpretace je taková, že jde o rychlost, s jakou se pohybuje nejvíce částic v systému, ne však o průměrnou rychlost jednotlivých částic. Ta se dá spočítat integrací: (řeší se substitucí u=v2 a dále metodou per partes)

[math]\bar v = \int_{0}^{\infty}v f(v) dv= \int_{0}^{\infty} \sqrt{\left(\frac{m}{2 \pi kT}\right)^3}\, 4\pi v^3 \mathrm{e}^{\left(- \frac{mv^2}{2kT}\right)} dv =\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}[/math]


Chování plynů, které lze popsat pomocí Maxwellova-Boltzmannova rozdělení, závisí na teplotě. Čím je vyšší teplota, tím je maximum rychlostí posunuto více směrem k vyšším hodnotám a sama křivka je plošší.

Příklady Maxwellova-Boltzmannova rozdělení pro několik hodnot parametru [math]a=\sqrt{\frac{kT}{m}}/v_0[/math](nejpravděpodobnější rychlost vztažená k libovolné referenční hodnotě rychlosti, např. pro vzduch o teplotě 300 K). Na vodorovné ose je [math]x=v/v_0[/math], na svislé hustota pravděpodobnosti [math]P(x)=f(x)[/math] podle značení výše uvedeného.


Odkazy[upravit | editovat zdroj]

Poznámky pod čarou[upravit | editovat zdroj]

  1. Pro připomenutí nebo vysvětlení, hustota pravděpodobnosti je funkce, která popisuje pravděpodobnostní chování. Například pokud nás zajímá pravděpodobnost, že rychlost náhodně vybrané částice leží v intervalu v1v2, pak je řešením integrál z hustoty pravděpodobnosti s integračními mezemi od v1 do v2.

Zdroj[upravit | editovat zdroj]