Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení rychlostí

Molekuly plynu se neustále pohybují a srážejí, každá z nich má při stejné hmotnosti a jiné rychlosti rozdílnou kinetickou energii. Statistické rozdělení rychlostí náhodného pohybu částice plynu je velmi dobře popsáno Maxwellovým-Boltzmannovým rozdělením. Hustota pravděpodobnosti rozdělení velikosti rychlosti molekuly ideálního plynu má tvar:

$f(v)={\sqrt {\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3}}}\,4\pi v^{2}\mathrm {e} ^{\left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right)}$ kde m je hmotnost molekuly, k je Boltzmannova konstanta (1,38.10^-23 J.K^-1) a T absolutní teplota.

Nejdůležitější charakteristikou je střední kvadratická hodnota (protože se používá k vyjádření střední kinetické energie molekul):

$v_{k}={\sqrt {\frac {3kT}{m}}}$

Důležitým parametrem je také maximum, tedy nejpravděpodobnější rychlost (v řeči statistiky jde vlastně o modus):

$v_{p}={\sqrt {\frac {2kT}{m}}}$

Najde se snadno derivováním hustoty.

Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení není symetrické, ale kladně sešikmené, tzn. nejedná se zároveň o jeho střední hodnotu. Fyzikální interpretace je taková, že jde o rychlost, s jakou se pohybuje nejvíce částic v systému, ne však o průměrnou rychlost jednotlivých částic. Ta se dá spočítat integrací: (řeší se substitucí u=v² a dále metodou per partes)

${\bar {v}}=\int _{0}^{\infty }vf(v)dv=\int _{0}^{\infty }{\sqrt {\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3}}}\,4\pi v^{3}\mathrm {e} ^{\left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right)}dv={\sqrt {\frac {8kT}{\pi m}}}$

Chování plynů, které lze popsat pomocí Maxwellova-Boltzmannova rozdělení, závisí na teplotě. Čím je vyšší teplota, tím je maximum rychlostí posunuto více směrem k vyšším hodnotám a sama křivka je plošší.

Příklady Maxwellova-Boltzmannova rozdělení pro několik hodnot parametru $a={\sqrt {\frac {kT}{m}}}/v_{0}$(nejpravděpodobnější rychlost vztažená k libovolné referenční hodnotě rychlosti, např. pro vzduch o teplotě 300 K). Na vodorovné ose je $x=v/v_{0}$, na svislé hustota pravděpodobnosti $P(x)=f(x)$ podle značení výše uvedeného.

Odkazy

Zdroj

• KUBATOVA, Senta. Biofot [online]. [cit. 2011-01-31]. <https://uloz.to/!CM6zAi6z/biofot-doc>.