Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení rychlostí

Molekuly plynu se neustále pohybují a srážejí, každá z nich má při stejné hmotnosti a jiné rychlosti rozdílnou kinetickou energii. Statistické rozdělení rychlostí náhodného pohybu částice plynu je velmi dobře popsáno Maxwellovým-Boltzmannovým rozdělením. Hustota pravděpodobnosti^{[pozn 1]} rozdělení velikosti rychlosti molekuly ideálního plynu má tvar:

f(v)={\sqrt {\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3}}}\,4\pi v^{2}\mathrm {e} ^{\left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right)}

kde m je hmotnost molekuly, k je Boltzmannova konstanta (1,38.10^-23 J.K^-1) a T absolutní teplota.

Nejdůležitější charakteristikou je střední kvadratická hodnota (protože se používá k vyjádření střední kinetické energie molekul):

v_{k}={\sqrt {\frac {3kT}{m}}}

Důležitým parametrem je také maximum, tedy nejpravděpodobnější rychlost (v řeči statistiky jde vlastně o modus):

v_{p}={\sqrt {\frac {2kT}{m}}}

Najde se snadno derivováním hustoty.

Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení není symetrické, ale kladně sešikmené, tzn. nejedná se zároveň o jeho střední hodnotu. Fyzikální interpretace je taková, že jde o rychlost, s jakou se pohybuje nejvíce částic v systému, ne však o průměrnou rychlost jednotlivých částic. Ta se dá spočítat integrací: (řeší se substitucí u=v² a dále metodou per partes)

{\bar {v}}=\int _{0}^{\infty }vf(v)dv=\int _{0}^{\infty }{\sqrt {\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3}}}\,4\pi v^{3}\mathrm {e} ^{\left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right)}dv={\sqrt {\frac {8kT}{\pi m}}}

Chování plynů, které lze popsat pomocí Maxwellova-Boltzmannova rozdělení, závisí na teplotě. Čím je vyšší teplota, tím je maximum rychlostí posunuto více směrem k vyšším hodnotám a sama křivka je plošší.

Příklady Maxwellova-Boltzmannova rozdělení pro několik hodnot parametru

a={\sqrt {\frac {kT}{m}}}/v_{0}

(nejpravděpodobnější rychlost vztažená k libovolné referenční hodnotě rychlosti, např. pro vzduch o teplotě 300 K). Na vodorovné ose je

x=v/v_{0}

, na svislé hustota pravděpodobnosti

P(x)=f(x)

podle značení výše uvedeného.

Odkazy[upravit | editovat zdroj]

Poznámky pod čarou[upravit | editovat zdroj]

↑ Pro připomenutí nebo vysvětlení, hustota pravděpodobnosti je funkce, která popisuje pravděpodobnostní chování. Například pokud nás zajímá pravděpodobnost, že rychlost náhodně vybrané částice leží v intervalu v₁ až v₂, pak je řešením integrál z hustoty pravděpodobnosti s integračními mezemi od v₁ do v₂.

Zdroj[upravit | editovat zdroj]

KUBATOVA, Senta. Biofot [online]. [cit. 2011-01-31]. <https://uloz.to/!CM6zAi6z/biofot-doc>.

[1] Pro připomenutí nebo vysvětlení, hustota pravděpodobnosti je funkce, která popisuje pravděpodobnostní chování. Například pokud nás zajímá pravděpodobnost, že rychlost náhodně vybrané částice leží v intervalu v₁ až v₂, pak je řešením integrál z hustoty pravděpodobnosti s integračními mezemi od v₁ do v₂.

[pozn 1]