Tutoriál R/Matice - příklad č.2

Zadání

Uvažujme markovský proces s počátečním stavovým vektorem p⁰ = (1,0,0)^T a přechodovou maticí $S={\begin{pmatrix}1/4&1/2&1/4\\2/3&0&1/3\\1/2&1/2&0\end{pmatrix}}$ ,

kde v i-tém řádku jsou vždy po řadě pravděpodobnosti přechodu z i-tého stavu do j-tého stavu pro ∀i,j ∈{1,2,3}.

Pomocí R

1. ověřme, že matice S je stochastická
2. určeme pravděpodobnosti, s jakými proces dospěl po pěti krocích do prvního, druhého či třetího stavu
3. určeme, zda existuje dynamicky rovnovážný stav procesu

Řešení

S <- matrix(c(1/4, 1/2, 1/4, 
                     2/3, 0, 1/3, 
                     1/2, 1/2, 0), nrow = 3, byrow = TRUE)
p <- c(1, 0, 0)

1.

rowSums(S) # c(1, 1, 1)

2.

install.packages("expm", dependency = T)
library("expm")
p %*% (S %^% 5) # c(0.437, 0.344, 0.219)

3.

p %*% (S %^% 10) # c(0.444, 0.333, 0.222)
p %*% (S %^% 20) # c(0.444, 0.333, 0.222)
p %*% (S %^% 30) # c(0.444, 0.333, 0.222)
p %*% (S %^% 40) # c(0.444, 0.333, 0.222)