Gradient

Z WikiSkript
Změněno.png

Gradient obecně[✎ upravit | ☲ editovat zdroj]

Gradient ve fyzice vyjadřuje rychlost, jakou se fyzikální veličina zvyšuje nebo snižuje v poměru ke změnám dané proměnné.

Gradient skalární funkce je vektor, který v každém bodě skalárního pole určuje směr nejrychlejšího růstu dané funkce. Důsledek toho je možnost popsat dané skalární pole jako vektorové pole gradientu.

Vektorové pole gradientu[✎ upravit | ☲ editovat zdroj]

V obrázku je znázorněna rychlost stoupání (černá oblast nejvyšší rychlost/bílá oblast nejnižší rychlost). K tomu korespondující gradient znázorňují modré šipky.

Gradient skalárního pole je vektorové pole. V každém bodě je gradient reprezentován vektorem, v jehož směru roste daná skalární funkce nejrychleji, přičemž délka vektoru znázorňuje míru strmosti.

Převod skalárního pole na vektorové pole[✎ upravit | ☲ editovat zdroj]

Skalární pole nám udává pouze hodnotu veličiny, nikoliv její směr (například měření teploty v pokoji). Pro získání vektoru využíváme gradient, který znázorní, jakým směrem se daný vektor v prostoru mění a jaký je největší nárůst dané veličiny. (Jako příklad lze uvést zdroj tepla v pokoji a změnu jeho intenzity v prostoru v závislosti na vzdálenosti od zdroje.)

Ukázka převodu ze skalárního na vektorové pole[✎ upravit | ☲ editovat zdroj]

Výklad Gradientu skalárního pole a převod na vektor: khanovaskola

Operátor nabla[✎ upravit | ☲ editovat zdroj]

Operátor nabla, též diferenciální vektorový operátor, se značí symbolem ∇, který je někdy doplněn šipkou nad symbolem nebo podtržením symbolu. Jméno Nabla vzniklo podle starého hebrejského hudebního nástroje trojúhelníkovitého tvaru. Operátorem v matematice se rozumí předpis označující operaci, kterou se k dané funkci přiřazuje jiná funkce. Někdy je operátor uváděn jako pouhá notace pro zjednodušení zápisu.

Matematicky je operátor nabla definován jako součet parciálních derivací podle jednotlivých souřadnicových os

\nabla := \frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y}+\frac{\partial}{\partial z}

Pokud je tedy operátor nabla použit na skalární funkci (,která má ve fyzice význam skalárního pole) u(x,y,z), má tvar:

\nabla u(x,y,z) = \frac{\partial u(x,y,z)}{\partial x}+\frac{\partial u(x,y,z)}{\partial y}+\frac{\partial u(x,y,z)}{\partial z}=\mathrm{grad}\,u(x,y,z)

Příklady gradientu[✎ upravit | ☲ editovat zdroj]

Gradient je možné považovat jako rozhodující faktor, podle kterého se budou částice pohybovat a šířit a podle jeho velikosti lze odvodit i sílu, která bude na dané částice působit.

Potenciální energie[✎ upravit | ☲ editovat zdroj]

Grad Ep určuje směr potencionální energie a je kolmý na ekvipotencionální plochu. (Geometrické místo bodů s danou konstantní hodnotou veličiny f, které je určeno rovnicí f(x,y,z) = konst., se nazývá ekvipotencionální plocha. Každým bodem A pole prochází právě jedna ekvipotencionální plocha.)1

Membránový potenciál[✎ upravit | ☲ editovat zdroj]

Rozdíl elektrického potenciálu mezi fosfolipidovou dvojvrstvou membrány vzniká jako důsledek napětí na polarizované membráně způsobené elektrochemickým gradientem částic. Gradient způsobuje pohyb iontů přes buněčné membrány a následné rozložení náboje po celé membráně.

Elektrochemický a koncentrační potenciál[✎ upravit | ☲ editovat zdroj]

Význam pro buněčný transport, především pro transport membránovými proteiny, kdy směr transportu vychází z převažujícího vektoru gradientu elektrochemického nebo koncentračního potenciálu.

Další využití v potenciálech[✎ upravit | ☲ editovat zdroj]

Skalární magnetický potenciál[✎ upravit | ☲ editovat zdroj]

Skalární magnetický potenciál se užívá pro popis magnetického pole, zejména pro permanentní magnety. V oblasti stejné magnetizace, kde není žádný proud,

\nabla\times\mathbf{H}=0,

proto lze definovat magnetický skalární potenciál ψ jako

\mathbf{H}=-\nabla\psi.

Gravitační potenciál[✎ upravit | ☲ editovat zdroj]

Gravitační potenciální gradient je definován jako rychlost změny gravitačního potenciálu se vzdáleností od pole působení. To je rovno gravitační intenzitě pole v daném bodě. Záporná hodnota gradientu zde určuje intenzitu pole.

Odkazy[✎ upravit | ☲ editovat zdroj]

Související články[✎ upravit | ☲ editovat zdroj]

Externí odkazy[✎ upravit | ☲ editovat zdroj]

Použité zdroje[✎ upravit | ☲ editovat zdroj]


HRIVŇÁK, Daniel. Diferenciální operátory vektorové analýzy [online]. Ostrava, 2002, dostupné také z <http://artemis.osu.cz/uvma3/UVMA3_1.pdf>. 

BEDNAŘÍK, Michal. Fyzika 1. 1. vydání. V Praze : České vysoké učení technické, 2011. ISBN 978-80-01-04834-4.

OBRDLÍKOVÁ, Šárka. diferenciální operátory ve fyzice [online]. Brno, 2008, dostupné také z <https://is.muni.cz/th/175612/prif_m/Dipl_Prace.pdf>.