Gradient

Z WikiSkript

Gradient obecně[upravit | editovat zdroj]

Gradient ve fyzice vyjadřuje rychlost, jakou se fyzikální veličina zvyšuje nebo snižuje v poměru ke změnám dané proměnné.

Gradient skalární funkce je vektor, který v každém bodě skalárního pole určuje směr nejrychlejšího růstu dané funkce. Důsledek toho je možnost popsat dané skalární pole jako vektorové pole gradientu.

Vektorové pole gradientu[upravit | editovat zdroj]

V obrázku je znázorněna rychlost stoupání (černá oblast nejvyšší rychlost/bílá oblast nejnižší rychlost). K tomu korespondující gradient znázorňují modré šipky.

Gradient skalárního pole je vektorové pole. V každém bodě je gradient reprezentován vektorem, v jehož směru roste daná skalární funkce nejrychleji, přičemž délka vektoru znázorňuje míru strmosti.

Převod skalárního pole na vektorové pole[upravit | editovat zdroj]

Skalární pole nám udává pouze hodnotu veličiny, nikoliv její směr (například měření teploty v pokoji). Pro získání vektoru využíváme gradient, který znázorní, jakým směrem se daný vektor v prostoru mění a jaký je největší nárůst dané veličiny. (Jako příklad lze uvést zdroj tepla v pokoji a změnu jeho intenzity v prostoru v závislosti na vzdálenosti od zdroje.)

Ukázka převodu ze skalárního na vektorové pole[upravit | editovat zdroj]

Výklad Gradientu skalárního pole a převod na vektor: khanovaskola

Operátor nabla[upravit | editovat zdroj]

Nabla operátor je diferenicální vektorový operátor a značí se [math]\displaystyle{ \nabla }[/math]. Název nabla vznikl podle hebrejského hudebního nástroje trojúhelníkovitého tvaru. Operátorem v matematice se rozumí předpis označující operaci, kterou se k dané funkci přiřazuje jiná funkce. Využití nabla operátoru také zjednodušuje zápis.

Matematicky je operátor nabla definován jako vektor parciálních derivací ve směrech jednotlivých souřadnicových os:

[math]\displaystyle{ \nabla := \left[\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right] }[/math]

Pokud je tedy operátor nabla použit na skalární funkci [math]\displaystyle{ u(x,y,z) }[/math], získáme gradient:

[math]\displaystyle{ \nabla u(x,y,z) = \left[\frac{\partial{u(x,y,z)}}{\partial{x}},\frac{\partial{u(x,y,z)}}{\partial{y}},\frac{\partial{u(x,y,z)}}{\partial{z}}\right]=\mathrm{grad}\,u(x,y,z) }[/math]

Skalární funkce se ve fyzice využívají k popisu skalárních polí. Gradient je vektor, který udává směr největšího růstu.

Nabla operátor lze aplikovat i na vektorové funkce a to buď ve smyslu skalárního součinu (operátor divergence, výsledkem je skalární funkce), nebo ve smylsu vektorového součinu (operátor rotace, výsledkem je opět vektorová funkce).

Příklady gradientu[upravit | editovat zdroj]

Gradient je možné považovat jako rozhodující faktor, podle kterého se budou částice pohybovat a šířit a podle jeho velikosti lze odvodit i sílu, která bude na dané částice působit.

Potenciální energie[upravit | editovat zdroj]

Grad Ep určuje směr potenciální energie a je kolmý na ekvipotenciální plochu. (Geometrické místo bodů s danou konstantní hodnotou veličiny f, které je určeno rovnicí f(x,y,z) = konst., se nazývá ekvipotencionální plocha. Každým bodem A pole prochází právě jedna ekvipotenciální plocha.)1

Membránový potenciál[upravit | editovat zdroj]

Rozdíl elektrického potenciálu mezi fosfolipidovou dvojvrstvou membrány vzniká jako důsledek napětí na polarizované membráně způsobené elektrochemickým gradientem částic. Gradient způsobuje pohyb iontů přes buněčné membrány a následné rozložení náboje po celé membráně.

Elektrochemický a koncentrační potenciál[upravit | editovat zdroj]

Význam pro buněčný transport, především pro transport membránovými proteiny, kdy směr transportu vychází z převažujícího vektoru gradientu elektrochemického nebo koncentračního potenciálu.

Další využití v potenciálech[upravit | editovat zdroj]

Skalární magnetický potenciál[upravit | editovat zdroj]

Skalární magnetický potenciál se užívá pro popis magnetického pole, zejména pro permanentní magnety. V oblasti stejné magnetizace, kde není žádný proud,

[math]\displaystyle{ \nabla\times\mathbf{H}=0, }[/math]

proto lze definovat magnetický skalární potenciál ψ jako

[math]\displaystyle{ \mathbf{H}=-\nabla\psi. }[/math]

Gravitační potenciál[upravit | editovat zdroj]

Gravitační potenciální gradient je definován jako rychlost změny gravitačního potenciálu se vzdáleností od pole působení. To je rovno gravitační intenzitě pole v daném bodě. Záporná hodnota gradientu zde určuje intenzitu pole.

Odkazy[upravit | editovat zdroj]

Související články[upravit | editovat zdroj]

Externí odkazy[upravit | editovat zdroj]

Použité zdroje[upravit | editovat zdroj]

KULHÁNEK, Petr. Fyzika II : Studijní text [online] . 1. vydání. Praha : AGA, 2021. Kapitola 1. Dostupné také z <https://www.aldebaran.cz/studium/f2.pdf>. 

HRIVŇÁK, Daniel. Diferenciální operátory vektorové analýzy [online]. Ostrava, 2002, dostupné také z <http://artemis.osu.cz/uvma3/UVMA3_1.pdf>. 

BEDNAŘÍK, Michal. Fyzika 1. 1. vydání. V Praze : České vysoké učení technické, 2011. ISBN 978-80-01-04834-4.

OBRDLÍKOVÁ, Šárka. Diferenciální operátory ve fyzice [online]. Brno, 2008, dostupné také z <https://is.muni.cz/th/175612/prif_m/Dipl_Prace.pdf>.