Hillova rovnice

Hillova rovnice vyjadřuje obsazenost receptorů ligandem (např. léčivem).

podíl obsazených receptorů $={\frac {[{\rm {{L}]}}}{[{\rm {{L}]+{\it {K_{D}}}}}}}$

kde $[{\rm {{L}]}}$ je koncentrace volnéhu ligandu v okolí receptoru a ${K_{D}}$ je disociační konstanta. Disociační konstatna vyjadřuje afinitu ligandu k receptoru. Čím je ${K_{D}}$ vyšší, tým je afinita nižší a obráceně.

Rovnice určuje podíl receptorů obsazenych ligandem, k celkovému počtu receptorů. Je-li levá strana (tedy i pravá) rovná jedné, jsou všetky receptory obsazeny lignandem. Když je rovná nule, pak jsou všetky receptory neobsazeny.

Rovnice dobře odpovídá vazbě kyslíku (ligand) na myoglobin (receptor).

Hillova rovnice je součástí tzv. okupační teorie (A. V. Hill a J. Clark). Tvar rovnice je analogický Michaelis-Mentenové rovnici v enzymové kinetice. Grafem je tedy rovněž hyperbola.

Zobecnění

Hillova-Langmuirova rovnice pre různé hodnoty Hillova koeficientu $n$. Čim vyšší $n$, tým má křivka víc sigmoidální tvar.

Předešlý vztah platí v nejjednodušším případě, když každý receptor může vázat právě jeden ligand. Ve skutečnosti se nezřídka může víc molekul ligandu vázat na jeden receptor. Vazba jedné molekuly ligandu může pak měnit afinitu dalších molekul ligandu. Tento obecnější případ lze vyjadřít Hill-Langmuirovou rovnicí:

podíl obsazených receptorů $={\frac {[{\text{L}}]^{n}}{[{\text{L}}]^{n}+K_{D}'}}$

kde $n$ je tzv. Hillův koeficient, který vyjadřuje kooperativitu vazby ligandu. Hillův koeficient je roven jedné v případě, že vazba jedné molekuly ligandu nijak neovlivňuje afinitu ostatních molekul ligandu k receptoru (např. kyslík a myoglobin, viz výš).

Původně byla tato rovnice navrhnutá A. V. Hillem pro popis vazby kyslíku na hemoglobin. Užití hyperbolické rovnice ($n=1$) totiž neodpovídalo experimentálním datům. Hillův koeficient je v případě vazby kyslíku na hemoglobin roven $n\approx 3$.

Odvození

Uvažujme o vazbě ligandu (L) na receptor (R) jako o chemické reakci, kde produktem je komplex receptor-ligand (RL).

${\ce {{R}+ {L}<=>[k_1][k_2]{RL}}}$

Kde $k_{1}$ a $k_{2}$ jsou rychlostní koeficienty přímé a zpětné reakce. Chemická rovnováha dle Gulberg-Waageova zákona nastane, když se rychlosti přímé a zpětné reakce vyrovnají.

$k_{1}[{\text{R}}][{\text{L}}]=k_{2}{\text{[RL]}}$

Úpravou rovnice si definujeme disociační konstantu $K_{D}$

${\frac {[{\rm {{RL}]}}}{[{\rm {{R}][{\rm {{L}]}}}}}}={\frac {k_{2}}{k_{1}}}=K_{D}$

Uvažme, že celková koncentrace receptorů je součtem volných a obsazených receptorů, neboli

${\rm {[R_{0}]=[R]+[RL]}}$

Dosazením za ${\text{[R]}}$ do předešlé rovnice dostaneme

${\frac {[{\rm {{RL}]}}}{([{\rm {{R_{0}}]-[{\rm {{RL}])\cdot [{\rm {{L}]}}}}}}}}=K_{D}$

Dalšími algebraickými úpravami pak

${\frac {[{\rm {{RL}]}}}{\rm {[R_{0}]}}}={\frac {[{\rm {{L}]}}}{[{\rm {{L}]+{\it {K_{D}}}}}}}$

Levou stranu interpretujeme jako podíl obsazených receptorů ke všem receptorům, čímž jsme odvodili Hillovu rovnici pro speciální případ $n=1$.

Odkazy

Použitá literatura

• ŠVIHOVEC, Jan, et al. Farmakologie. 1. vydání. Praha : Grada, 2018. ISBN 978-80-271-2150-2.

• Hill equation (biochemistry)