Popisná statistika v R

Matematická statistika se zabývá získáváním informací z empirických dat.

Součástmi matematické statistiky jsou:

• teorie odhadu: určuje odhady neznámých parametrů základního souboru na základě empirických dat získaných z výběrového souboru,
• testování statistických hypotéz: ověřuje hypotézy o základním souboru,
• statistická predikce: snaží se o kvalifikovaný odhad budoucího vývoje sledovaných veličin na základě jejich dosavadního vývoje.

V tomto článku se pokusíme ukázat základní nástroje popisné statistiky v jazyce a prostředí R.

Pro správnou funkci kódu v tomto článku bude potřeba nainstalovat balíček psych:

# balicky pro tuto kapitolu
library(psych)

Základní pojmy

Statistický soubor je množina statistických jednotek stejného typu a shodného vymezení. Rozlišujeme:

• základní soubor (populace),
• výběrový soubor (výběr, vzorek).

Statistická jednotka je prvek statistického souboru, který při statistickém zkoumání sledujeme. Statistickou jednotku vymezujeme:

• věcně (co to je?),
• časově (kdy to sledujeme?) a
• prostorově (kde to sledujeme?).

Statistický znak je vlastnost, kterou u statistických jednotek sledujeme. Mohou být:

• číselné (měřitelné), které se ještě dělí na:
  • intervalové a
  • poměrové (kardinální),
• slovní (kategoriální), které rozdělujeme na:
  • pořadové (ordinální) a
  • jmenovité (nominální) - alternativní (jen dvě možnosti) či množné.

U statistického znaku se můžeme zabývat četnostmi.

Absolutní četnost je absolutní počet výskytů daného znaku v dané hodnotě (či intervalu).

# u diskretnich hodnot je to jednoduche
table(mtcars$cyl)

# u spojitych hodnot musime kouzlit
table(cut(mtcars$qsec,
          breaks = 5))

Relativní četnost určuje podíl dané hodnoty (nebo intervalu) vůči celé sadě naměřených hodnot.

# u diskretnich hodnot je to jednoduche
prop.table(table(mtcars$cyl))

# u spojitych hodnot musime zase trochu kouzlit
prop.table(table(cut(mtcars$qsec,
                     breaks = 5)))

Kumulativní četnosti (absolutní i relativní) udávají součet všech pozorování, která nepřekračují určitou hodnotu.

# ukazka absolutnich kumulativnich cetnosti
cumsum(table(mtcars$cyl))

Základní zobrazení dat

Diagram rozptýlení

Zejména spojité hodnoty můžeme zobrazit na jednorozměrném diagramu rozptýlení.

# pouzijeme uhrn srazek v americkych mestech za rok
stripchart(x    = precip,
           dlab = "Diagram rozptyleni (mnozstvi srazek v palcich za rok)")

Polygon četností

Absolutní četnosti názorně ukáže polygon četností.

# pouzijeme pocet valcu aut v seznamu
plot(x    = table(mtcars$cyl),
     type = "b",
     xlab = "pocet valcu",
     ylab = "absolutni cetnost")

Součtová křivka

Kumulativní četnosti zobrazí součtová křivka.

# pouzijeme pocet velkych objevu za rok podle World Almanac
plot(x    = cumsum(table(discoveries)),
     type = "b",
     xlab = "pocet objevu za rok",
     ylab = "kumulativni cetnost")

Krabicový graf

Krabicový graf znázorňuje nejmenší a největší hodnotu, dolní a horní kvartil a medián.

boxplot(x    = precip,
        ylab = "srazky v palcich za rok")

Empirická distribuční funkce

Pomocí empirické distribuční funkce lze také dobře znázornit rozdělení četností.

plot(x    = ecdf(precip),
     main = "",
     xlab = "srazky v palcich za rok",
     ylab = "distribucni funkce (cetnost)")

Histogram

Histogram zobrazí distribuci spojitých dat pomocí sloupců stejné šířky, které znázorňují intervaly.

hist(x    = precip,
     main = "",
     xlab = "srazky v palcich za rok",
     ylab = "cetnost (pocet mest)")

Podobně znázorní kumulativní (součtový) histogram kumulativní četnosti.

# nejprve vyrobim obycejny histogram
qsec.hist <- hist(discoveries)

# pak zamenim cetnosti kumulativnimi cetnostmi
qsec.hist$counts <- cumsum(qsec.hist$counts)

# a nakonec vygeneruji kumulativni histogram pomoci plot()
plot(x    = qsec.hist,
     main = "",
     xlab = "pocet objevu",
     ylab = "kumulativni cetnost")

Charakteristiky polohy

Průměr

Aritmetický průměr vyjadřuje průměrnou hodnotu daného znaku v souboru, počítá se jako podíl součtu hodnot a počtu pozorování.

mean(mtcars$cyl)

Harmonický průměr je podíl počtu pozorování ku součtu převrácených hodnot. Má smysl tam, kde počítáme s převrácenými hodnotami (hustoty, rychlosti apod.).

psych::harmonic.mean(1:10)

Geometrický průměr se počítá jako n-tá odmocnina součinu hodnot. Má smysl u analýz časových řad, např. při počítání průměrného tempa růstu nebo poklesu.

psych::geometric.mean(1:10)

Kvadratický průměr je odmocnina z průměru kvadratických hodnot.

sqrt(mean((1:10)^2))

Modus

Modus je hodnota znaku s největší četností.

# s modem je to slozite, ale napr. takto
#   - vytvorim tabulku cetnosti
#   - seradim ji od nejvetsiho
#   - a vezmu "nazev" nejcetnejsi hodnoty na prvnim miste
# !!! CAVE: idealni je vytvorit reseni na miru situaci,
#     tohle reseni napr. ignoruje vicemodalni rozdeleni
names(sort(-table(c(1, 2, 1, 3))))[1]

Kvantil

Kvantil je x(p) hodnota znaku, pro kterou platí, že podíl p hodnot uspořádaných v řadě má hodnotu menší nebo rovnu x(p) a podíl (1-p) hodnot má hodnotu větší nebo rovnu x(p). Takových hodnot stejně jako u mediánu může být víc, záleží na konkrétním vzorci.

# 0,75 kvantil z rady 1-10
quantile(1:10, 0.75)

Medián je 50% kvantil, dělí řadu vzestupně seřazených výsledků na dvě stejně početné poloviny.

median(1:10)

Charakteristiky variability

Variační šíře

Variační šíře (rozpětí) je rozdíl mezi nejmenší a největší hodnotou.

# variacni rozpeti
sada <- 1:10
max(sada) - min(sada)

# nebo muzeme najit nejmensi a nejvetsi hodnotu jinak
range(sada)

# a spocist rozdil
diff(range(sada))

Kvantilová rozpětí

Podobně fungují kvantilová rozpětí. Např.:

• kvartilové rozpětí x(0,75) - x(0,25),
• decilové rozpětí x(0,90) - x(0,10),
• percentilové rozpětí x(0,99) - x(0,01).

# kvartilove rozpeti na ukazku
diff(quantile(1:10, c(0.75, 0.25)))

# pomoci funkce IQR
IQR(1:10)

Poloviční hodnoty uvedených rozpětí se nazývají odchylky:

• kvartilová odchylka,
• decilová odchylka,
• percentilová odchylka.

Průměrná odchylka

Průměrná odchylka je aritmetický průměr absolutních odchylek hodnot znaku od jejich aritmetického průměru.

x <- 1:10
mean(abs(x - mean(x)))

Rozptyl

Rozptyl je aritmetický průměr druhých mocnin odchylek hodnot znaku od jejich aritmetického průměru.

var(rnorm(100))

Směrodatná odchylka

Odmocnina z rozptylu je směrodatná odchylka.

sd(rnorm(100))

Variační koeficient

Variační koeficient je podíl směrodatné odchylky a aritmetického průměru.

sd(rivers)/mean(rivers)

Charakteristiky koncentrace

Koeficient šikmosti

Koeficient šikmosti udává tvar rozdělení četností. Pokud je kladný, je křivka zešikmená doleva (tj. delší je ocas vpravo). Pokud je záporný, je rozdělení četností zešikmené doprava (a má delší ocas vlevo).

# histogram
hist(x    = rivers,
     main = "",
     xlab = "delka reky v milich",
     ylab = "cetnost")

# sikmost
psych::skew(rivers)

Koeficient špičatosti

Koeficient špičatosti udává špičatost křivky rozdělení četností. Pokud je kladný, je křivka špičatější.

x <- rnorm(100)

# histogram
hist(x    = x,
     main = "",
     xlab = "hodnoty",
     ylab = "cetnost")

# spicatost
psych::kurtosi(x)

Odkazy

Použitá literatura

• OLDŘICH, Neubauer. Základy statistiky. - vydání. Grada Publishing a.s., 2012. 236 s. ISBN 9788024742731.

Použité balíčky R

• REVELLE, W. psych: Procedures for Personality and Psychological Research. Northwestern University, Evanston, Illinois, USA, 2018. Verze 1.8.10. https://CRAN.R-project.org/package=psych