Distribuční funkce

Distribuční funkce, někdy označovaná jako kumulované rozdělení pravděpodobnosti (z angl. cumulative distribution function), je funkce, podle které lze jednoznačně popsat rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny. Zároveň se jedná o funkci, kdy hodnota náhodné veličiny je vždy menší než zadaná hodnota, tedy že číselná realizace náhodné veličiny (vetšinou označované jako $X$) nepřekročí na dané reálné ose zadanou hodnotu $x$.

Popis a vzorce

Distribuční funkci označujeme $F(x)$, přičemž:

Ilustrativní příklad distribuční funkce v několika případech s různými hodnotami střední hodnoty a rozptylu normálního rozdělení. Normované normální rozdělení je označeno červenou funkcí.

$F(x)=\mathrm {P} (X\leq x)=P(\omega _{i}\in \Omega :X(\omega _{i})\leq x)$

Rozdělení	Distribuční funkce
Rovnoměrné rozdělení na intervalu $[\alpha ,\beta ]$	$F(x)=\left\{{\begin{array}{ll}0&x<\alpha \\{\frac {x-\alpha }{\beta -\alpha }}&x\in [\alpha ,\beta ]\\1&x>\beta \end{array}}\right.$
Normální rozdělení	$F(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\int \limits _{-\infty }^{x}\exp \left\{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right\}$
Exponenciální rozdělení	$F(x)=\left\{{\begin{array}{ll}0&x<0\\1-\exp\{-\lambda x\}&x\geq 0\end{array}}\right.$

Vlastnosti

Jelikož je distribuční funkce definována jako pravděpodobnost, přiřazujeme jí několik základních charakteristik:

1. jedná se o funkci neklesající $\alpha <\beta \Rightarrow F(\alpha )\leq F(\beta )$;
2. zprava spojitou $\lim _{x\to \alpha ^{+}}F(x)=F(\alpha )$;
3. její asymptotické vlastnosti říkají, že je definována v intervalu od nuly do jedničky včetně $\lim _{x\to +\infty }F(x)=1$ a $\lim _{x\to -\infty }F(x)=0$.

Zároveň je vhodné zmínit, že se jedná o funkci inverzní k funci kvantilové, u níž výsledek není pravděpodobnost (jako je u distribuční funkce), ale právě číslo na reálné ose, které zkoumané pravděpodobnosti odpovídá. Platí tedy, že:

Distribuční funkce: $F(x_{p})=\mathrm {P} (X\leq x_{p})=p$

Kvantilová funkce: $x_{p}={F^{-1}}\mathrm {P} (X\leq x_{p})={F^{-1}}(p)$

Odkazy

Související články

• Normální rozdělení
• Poissonova distribuce
• Míry variability
• Míry polohy
• Studentovo rozdělení

Použitá literatura

• WOOLSON, Robert F. a William CLARKE. Statistical Methods for the Analysis of Biomedical Data. 2. vydání. New York : John Wiley & Sons. Inc., 2002. 368 s. ISBN 9780471394051.