Hagenův-Poiseuillův zákon/Odvození

Hagenův-Poisseuillův zákon lze odvodit pomocí základních operací integrálního počtu.

Uvažujme vodorovnou válcovitou trubici o konstantním poloměru $r$ a délce $L$. V této trubici laminárně proudí rychlostí $v$ newtonovská kapalina o viskozitě $\eta$. Nechť osa x je ve směru proudu kapaliny, zatímco osa y je na ni kolmá. Newtonův zákon o tečném napětí $\tau$ má pak tvar:

$\tau =-\eta {\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}y}}$.

Tečné napětí $\tau$, vzniklé třením mezi stěnou a proudící kapalinou, se přenáší na další vrstvy kapaliny, a působí tak pokles tlaku mezi začátkem a koncem trubice. Síla tření bude tedy vznikat v místě styku stěny trubice a kapaliny a dá se vyjádřit jako:

$F_{t}={\text{obvod}}\cdot {\text{délka trubice}}\cdot \tau =2\pi y\cdot L\cdot \tau =-2\pi y\cdot L\cdot \eta {\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}y}}$.

Tato síla bude působit úbytek tlakové síly:

$F_{p}=\pi y^{2}\Delta P$.

Z rovnosti těchto sil pak dostáváme:

${\text{d}}v=-{\frac {\Delta P}{2L\eta }}\cdot y\cdot {\text{d}}y$,

a po integraci:

$v=\int {\text{d}}v=-{\frac {\Delta P}{2L\eta }}\int y\cdot {\text{d}}y=-{\frac {\Delta P}{2L\eta }}\cdot {\frac {y^{2}}{2}}+C$,

a dosazení za integrační konstantu $C$ dle počátečních podmínek (u stěny je nulová rychlost, tj. $y=r$):

$v={\frac {\Delta P}{4L\eta }}\cdot (r^{2}-y^{2})$.

Rychlost má tedy parabolický profil.

Pro rychlost platí:

$v={\frac {{\text{d}}Q}{{\text{d}}S}}$

tedy pro objemový tok získáme:

$Q=\int _{0}^{r}{\text{d}}Q=\int _{0}^{r}v\cdot {\text{d}}S=\int _{0}^{r}{\frac {\Delta P}{4L\eta }}\cdot (r^{2}-y^{2})2\pi y\cdot {\text{d}}y={\frac {\Delta P\pi }{2L\eta }}\cdot (\int _{0}^{r}r^{2}y\cdot {\text{d}}y-\int _{0}^{r}y^{3}\cdot {\text{d}}y)={\frac {\Delta P\pi }{2L\eta }}\cdot ({\frac {r^{4}}{2}}-{\frac {r^{4}}{4}})$.

Čímž jsme získali výsledný tvar Hagenova-Poiseuillova zákona:

$Q={\frac {\Delta P\pi r^{4}}{8L\eta }}$.