Studentův t-test

Studentův t-test je často používaná metoda testování statistických hypotéz. V závislosti na situaci, kdy se používá, se rozlišuje:

jednovýběrový t-test, který slouží k porovnání střední hodnoty μ s konstantou (H₀: μ = μ₀);
dvouvýběrový (nepárový) t-test, který slouží k porovnání střední hodnoty μ₁ jedné skupiny se střední hodnotou μ₂ jiné skupiny (H₀: μ₁ − μ₂ = konst);

např. střední hodnota systolického tlaku u kuřáků a nekuřáků;

nebo střední hodnota systolického tlaku u skupiny, která bere placebo, a skupiny, která bere β-blokátory

párový t-test, který slouží k porovnání středních hodnot mezi prvními a druhými prvky uspořádaných dvojic (H₀: μ₁ − μ₂ = konst).

např. střední hodnota systolického tlaku u kuřáků před ukončením kouření a po ukončení kouření;

nebo střední hodnota hladiny oxytocinu v krvi u matek a u jejich dětí

Jednovýběrový Studentův t-test

Jednovýběrový t-test je praxi méně často používaný než dvouvýběrový a párový, ale didaktičtější.

Data

Máme data x₁, …, x_n ~ N(μ, σ²). Z nich získáme výběrový průměr ${\overline {x}}$ a výběrovou směrodatnou odchylku $s$ .

Hypotézy

H₀: μ = μ₀ (konstanta)
H_A: μ ≠ μ₀ (oboustranná alternativa; jednostranné: μ < μ₀, μ > μ₀)

Nulové rozdělení

t_n−1 (Studentovo s n−1 stupni volnosti)

Testová statistika

$T={\frac {{\overline {x}}-\mu _{0}}{\mathrm {SEM} }}={\frac {{\overline {x}}-\mu _{0}}{s}}\cdot {\sqrt {n}}$

Kritická hodnota testu pro hladinu α

t_{n−1, 1−α/2}^{[† 1]}

Výpočetní technika

Program STATISTICA: Statistiky → Základní statistiky → t-test, samostatný vzorek
Program EXCEL:
1. Je nutné použít párový t-test, jako data do páru je nutné vytvořit sloupec s testovanou konstantou
2. Nástroje → Doplňky → Analýza dat (zaškrtnout)
3. Nástroje → Analýza dat → Dvouvýběrový párový studentův test na střední hodnotu
V české verzi je nutné dát pozor na parametr stupně volnosti, který je špatně přeložen jako rozdíl.

Dvouvýběrový Studentův t-test

Data

$x_{1},\ldots ,x_{n}\sim N(\mu _{1},\sigma _{1}^{2})$ , směrodatná odchylka $s_{1}$

$y_{1},\ldots ,y_{m}\sim N(\mu _{2},\sigma _{2}^{2})$ , směrodatná dochylka $s_{2}$

Nulová hypotéza

H₀: μ₁ = μ₂ (obecněji H₀: μ₁ − μ₂ = konstanta)

Alternativní hypotéza

H_A: μ₁ ≠ μ₂ (oboustranná alternativa)
H_A: μ₁ > μ₂; μ₁ < μ₂ (jednostranná alternativa)

Používání jednostranné alternativy se obecně nedoporučuje.

Testová statistika

$T={\frac {{\overline {x}}-{\overline {y}}}{\mathrm {SE} ({\overline {x}}-{\overline {y}})}}$

$\mathrm {SE} ({\overline {x}}-{\overline {y}})$ se dá chápat jako:

Předpokládáme $\sigma _{1}=\sigma _{2}=\sigma$ , „t-test pro shodné rozptyly“ (klasická varianta)
Uvažujeme i možnost $\sigma _{1}\neq \sigma _{2}$ , „t-test pro neshodné rozptyly“ (tzv. Welchův test, Satterthwaiteův test)

K rozlišení vhodnosti daných variant lze použít např. F-test shody rozptylů.

Použití na testování na shodu rozptylů není ovšem univerzální. Testy na rozptyl mohou vyjít falešně signifikantní pouze díky velkému počtu dat, či falešně nesignifikatní kvůli malému množství dat.

T-test pro shodné rozptyly

Označován jako pooled variance t-test. Předpokládáme:

$\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma ^{2},$

Společný rozptyl se odhaduje jako

$s^{2}={\frac {1}{n+m-2}}[\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}+\sum _{i=1}^{m}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}]=[(n-1)s_{1}^{2}+(m-1)s_{2}^{2}]/(n+m-2)$

$\mathrm {SE} ({\overline {x}}-{\overline {y}})=s\cdot {\sqrt {{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{m}}}}$

Nulové rozdělení

Při H₀ platí:

$T\sim \ t_{n+m-2}$

T-test pro neshodné rozptyly

Občas označován jako Welchův test, Satterthwaitův test či separed variance t-test. Předpokládáme:

$\sigma _{1}\neq \sigma _{2},$

$\mathrm {SE} ({\overline {x}}-{\overline {y}})={\sqrt {{\frac {s_{1}^{2}}{n}}+{\frac {s_{2}^{2}}{m}}}}.$

Nulové rozdělení

Při H₀ má $T$ přibližně rozdělení $t_{\mathrm {D} f}$ . Počet stupňů volnosti odpovídá n, m, s₁, s₂. Nemusí to být celé číslo. $\mathrm {Df} \leq n+m-2$

Párový Studentův t-test

Data

$x_{1},\ldots ,x_{n}\sim N(\mu _{1},\sigma _{1}^{2})$ , průměr ${\overline {x}}$

$y_{1},\ldots ,y_{n}\sim N(\mu _{2},\sigma _{2}^{2})$ , průměr ${\overline {y}}$

Párové diference

$z_{1}=x_{1}-y_{1},\ldots ,z_{n}=x_{n}-y_{n}\sim N(\mu _{1}-\mu _{2},\sigma ^{2})$

${\overline {z}}={\overline {x}}-{\overline {y}}$

$s_{z}$ je SD párových diferencí.

Nulová hypotéza

H₀: μ₁ = μ₂ (obecněji H₀: μ₁ − μ₂ = konstanta)

Alternativní hypotéza

H_A: μ₁ ≠ μ₂ (oboustranná alternativa)
H_A: μ₁ > μ₂; μ₁ < μ₂ (jednostranná alternativa)

Používání jednostranné alternativy se obecně nedoporučuje.

Testová statistika

$T={\frac {\overline {z}}{s_{z}/{\sqrt {n}}}}={\frac {{\overline {x}}-{\overline {y}}}{s_{z}/{\sqrt {n}}}}={\frac {\overline {z}}{\mathrm {SE} ({\overline {x}}-{\overline {y}})}}$

${\overline {x}}$ , ${\overline {y}}$ jsou realizace náhodné veličiny, ${\overline {x}}-{\overline {y}}$ je tedy také realizace náhodné veličiny, $\mathrm {SE} ({\overline {x}}-{\overline {y}})$ je její směrodatná odchylka

(Obecněji $T={\frac {{\overline {z}}-\mathrm {konst} }{s_{z}/{\sqrt {n}}}}$ )

Nulové rozdělení

Při platnosti H₀: $T\sim \ t_{n-1}$

Pravděpodobnost, že $T$ přesáhne hodnotu $T_{0}$ nebo bude nižší než $-T_{0}$ je

$P(-T_{0}<T<T_{0})=2\cdot (1-F(T_{0}))$

Kritická hodnota

$t_{1-{\frac {\alpha }{2}},n-1}$

Výpočetní technika

Program STATISTICA: Statistiky → Základní statistiky → t-test, závislé vzorky
Program EXCEL:
1. Nástroje → Doplňky → Analýza dat (zaškrtnout)
2. Nástroje → Analýza dat → Dvouvýběrový párový studentův test na střední hodnotu
V české verzi je nutné dát pozor na parametr stupně volnosti, který je špatně přeložen jako rozdíl.

Výpočetní technika

Program SAS: Tasks → ANOVA → t Test…
Program STATISTICA: Statistiky → Základní statistiky → Vhodný typ testu
Program Excel: funkce TTEST()
Program Excel, alternativní způsob:
1. V Excelu, který nemá data ve formě objekty × veličiny, je nutné data vhodně uspořádat
2. Nástroje → Doplňky → Analýza dat (zaškrtnout)
3. Nástroje → Analýza dat → Vhodný typ testu
V české verzi je nutné dát pozor na parametr stupně volnosti, který je špatně přeložen jako rozdíl.

Poznámky

↑ (1−α/2)-kvantil rozdělení t_n−1

Odkazy

Související články

Použitá literatura

KLASCHKA, Jan. Testování statistických hypotéz [přednáška k předmětu Zdravotnická statistika 1,2, obor Všeobecné lékařství, 1. lékařská fakulta Univerzita Karlova]. Praha. 26.4.2011.

KLASCHKA, Jan. Studentův t-test [přednáška k předmětu Zdravotnická statistika 1,2, obor Všeobecné lékařství, 1. LF Univerzita Karlova]. Praha. 3.5.2011.

KLASCHKA, Jan. Studentův t-test [přednáška k předmětu Zdravotnická statistika 1,2, obor Všeobecné lékařství, 1. LF Univerzita Karlova]. Praha. 10.5.2011.

[1] (1−α/2)-kvantil rozdělení t_n−1

[† 1]