Hagen-Poiseuillův zákon

Z WikiSkript

 \frac{\Delta V}{\Delta t} \left(Q \right) = \Delta P \cdot \frac {\pi}{8} \cdot \frac {1}{\eta} \cdot \frac {R^4}{L}

Objemový tok Q je přímo úměrný rozdílu tlaků na začátku a na konci trubice (ΔP) a čtvrté mocnině jejího poloměru (praktický význam při zmenšení průměru arterioly).

Odvození[✎ upravit | ☲ editovat zdroj]

K odvození je třeba rozumět základům integrálního počtu.

Odvození vychází z Newtonova zákona o tečných napětích v kapalině. Hagen-Poiseuillův zákon proto platí pro newtonovské kapaliny. Newtonův zákon pro kapalinu proudící laminárním prouděním v trubici s rychlostí ve směru osy x, na níž je umístěna stěna trubice, zatímco na osu y je umístěn průměr trubice, má tvar:

\tau = - \eta \frac{ \text{d}v }{ \text{d}y}.

Tečné napětí \tau, vzniklé třením mezi stěnou a proudící kapalinou, se přenáší na další vrstvy kapaliny, a působí tak pokles tlaku mezi začátkem a koncem trubice. Síla tření bude tedy vznikat na styku stěny trubice a kapaliny a dá se vyjádřit jako:

F_t = \text{obvod} \cdot \text{delka trubice} \cdot \tau = 2 \pi y \cdot L \cdot \tau = - 2 \pi y \cdot L \cdot \eta \frac{ \text{d}v }{ \text{d}y} .

Tato síla bude působit úbytek tlakové síly:

F_p = \pi y^2 \Delta P.

Z rovnosti těchto sil pak dostáváme:

\text{d}v =- \frac{ \Delta P}{2 L \eta} \cdot y \text{d}y,

a po integraci:

v = \int \text{d}v = - \frac{ \Delta P}{ 2 L \eta} \int y \text{d}y = - \frac{ \Delta P}{2 L \eta} \cdot \frac{y^2}{2} + C,

a dosazení za integrační konstantu C dle počátečních podmínek (u stěny je nulová rychlost, y = r):

v = \frac{ \Delta P}{ 4 L \eta} \cdot (r^2 - y^2).

Rychlost má tedy parabolický profil.

Pro rychlost platí:

v = \frac{\text{d}Q}{\text{d}S},

tedy pro objemový tok získáme:

Q = \int_0^r \text{d}Q = \int_0^r v \text{d}S = \int_0^r \frac{ \Delta P}{ 4 L \eta} \cdot (r^2 - y^2) 2\pi y \text{d} y = \frac{\Delta P \pi}{2 L \eta} \cdot (\int_0^r r^2 y \text{d}y - \int_0^r y^3 \text{d}y) = \frac{\Delta P \pi}{2 L \eta} \cdot (\frac{r^4}{2} - \frac{ r^4 }{4}).

Čímž jsme získali výsledný tvar Hagen-Poiseuillova zákona:

Q = \frac{\Delta P \pi r^4}{8 L \eta}.

Odkazy[✎ upravit | ☲ editovat zdroj]

Související články[✎ upravit | ☲ editovat zdroj]

Použitá literatura[✎ upravit | ☲ editovat zdroj]