Hagen-Poiseuillův zákon

[math]\displaystyle{ \frac{\Delta V}{\Delta t} \left(Q \right) = \Delta P \cdot \frac {\pi}{8} \cdot \frac {1}{\eta} \cdot \frac {R^4}{L} }[/math]

Objemový tok Q je přímo úměrný rozdílu tlaků na začátku a na konci trubice (ΔP) a čtvrté mocnině jejího poloměru (praktický význam při zmenšení průměru arterioly).

Odvození

K odvození je třeba rozumět základům integrálního počtu.

Odvození vychází z Newtonova zákona o tečných napětích v kapalině. Hagen-Poiseuillův zákon proto platí pro newtonovské kapaliny. Newtonův zákon pro kapalinu proudící laminárním prouděním v trubici s rychlostí ve směru osy x, na níž je umístěna stěna trubice, zatímco na osu y je umístěn průměr trubice, má tvar:

[math]\displaystyle{ \tau = - \eta \frac{ \text{d}v }{ \text{d}y} }[/math].

Tečné napětí [math]\displaystyle{ \tau }[/math], vzniklé třením mezi stěnou a proudící kapalinou, se přenáší na další vrstvy kapaliny, a působí tak pokles tlaku mezi začátkem a koncem trubice. Síla tření bude tedy vznikat na styku stěny trubice a kapaliny a dá se vyjádřit jako:

[math]\displaystyle{ F_t = \text{obvod} \cdot \text{delka trubice} \cdot \tau = 2 \pi y \cdot L \cdot \tau = - 2 \pi y \cdot L \cdot \eta \frac{ \text{d}v }{ \text{d}y} }[/math].

Tato síla bude působit úbytek tlakové síly:

[math]\displaystyle{ F_p = \pi y^2 \Delta P }[/math].

Z rovnosti těchto sil pak dostáváme:

[math]\displaystyle{ \text{d}v =- \frac{ \Delta P}{2 L \eta} \cdot y \text{d}y }[/math],

a po integraci:

[math]\displaystyle{ v = \int \text{d}v = - \frac{ \Delta P}{ 2 L \eta} \int y \text{d}y = - \frac{ \Delta P}{2 L \eta} \cdot \frac{y^2}{2} + C }[/math],

a dosazení za integrační konstantu C dle počátečních podmínek (u stěny je nulová rychlost, y = r):

[math]\displaystyle{ v = \frac{ \Delta P}{ 4 L \eta} \cdot (r^2 - y^2) }[/math].

Rychlost má tedy parabolický profil.

Pro rychlost platí:

[math]\displaystyle{ v = \frac{\text{d}Q}{\text{d}S} }[/math],

tedy pro objemový tok získáme:

[math]\displaystyle{ Q = \int_0^r \text{d}Q = \int_0^r v \text{d}S = \int_0^r \frac{ \Delta P}{ 4 L \eta} \cdot (r^2 - y^2) 2\pi y \text{d} y = \frac{\Delta P \pi}{2 L \eta} \cdot (\int_0^r r^2 y \text{d}y - \int_0^r y^3 \text{d}y) = \frac{\Delta P \pi}{2 L \eta} \cdot (\frac{r^4}{2} - \frac{ r^4 }{4}) }[/math].

Čímž jsme získali výsledný tvar Hagen-Poiseuillova zákona:

[math]\displaystyle{ Q = \frac{\Delta P \pi r^4}{8 L \eta} }[/math].

Odkazy

Související články

• Stokesův zákon
• Viskozita
• Newtonovská kapalina

Použitá literatura

• CHMELÍK, František. Skripta k předmětu Fyzika I [online]. [cit. 2010-06-18]. <https://material.karlov.mff.cuni.cz/people/hajek/skripta/>.