Portál:Otázky z biofyziky (1. LF UK, VL)/28. Otázka

			28. Otázka
			Dynamika krevního oběhu, Poiseuill-Hagenův zákon
			Otázky z biofyziky (1. LF UK, VL)
			Předchozí • Další

Srdce

Srdce je zdrojem mechanické energie cévního systému. Je to dutý svalnatý orgán, který má 4 oddíly: 2 komory a 2 předsíně. Komory zajišťují vlastní vypuzování krve ze srdce, předsíně jsou pouze rezervoáry ze kterých se plní. Jednosměrný tok krve zajišťují srdeční chlopně.

Práce Srdce

Pracovní diagram levé komory

Při každém stahu koná srdce mechanickou práci tím, že vypuzuje určité množství krve do oběhu (tepový objem). Mechanismus vypuzení tepového objemu je takový, že srdce potřebuje překonat tlak v aortě (roven diastolickému tlaku). Nejprve se musí vynaložit taková energie, aby překonala takovouto bariéru. Dále pak energie pro urychlení tepového objemu do oběhu. Celková práce srdce se skládá z práce mechanické a kinetické:

$W=W_{p}+W_{k}$

Objemovou práci srdce lze pro zjednodušení nahradit prací pístu, který určitým tlakem $p$ vytlačí objem krve $V$, celková mechanická práce bude vyjádřena vzorcem:

$W_{p}=p\cdot V$

Kinetická energie systolického srdečního výdeje se rovná:

$E_{k}={\frac {1}{2}}\cdot \rho \cdot v^{2}\cdot V$

K výpočtu celkové srdeční práce za jednu systolu je třeba znát následující veličiny: střední tlak krve (p = 13,3 kPa), hustotu krve (ρ = 1,06·10³ kg·m^-3), rychlost vypuzování krve ze srdce (v = 0,3 m·s^-1) a tepový srdeční výdej (V = 70 ml). Práce levé komory se tedy bude rovnat:

$W=0,93J$

Pravá komora vykoná při jedné systole 20% práce levé komory, tzn.: 0,19J. Celkově tedy srdce během jedné systoly vykoná práci 1,12J.

Mechanický výkon srdce je 13W, to je přibližně 13% celkového výkonu organismu v klidu. Většina z tohoto výkonu má za úkol udržení stálého napětí srdeční svaloviny. Pouze 1/10 se spotřebuje na vlastní vykonávání mechanické práce.

Mechanické vlastnosti krve

Krev představuje značně složitý systém. Je to roztok organických a anorganických látek, pak také koloidní disperzní soustava a nakonec suspenze krevních tělísek. Toto složení způsobuje množství interakcí mezi jednotlivými složkami krve. Mezi tyto interakce patří mimo mechanických sil například elektrické dvojvrstvy.

Viskozita všeobecně závisí na teplotě a není tomu jinak ani u krve. Relativní viskozita krve k viskozitě vody je 4,5. Absolutní viskozita krve se při teplotě 37 °C pohybuje v mezi 3–3,6·10^-3 Pa·s.

Mechanické vlastnosti cév

Cévy jsou specifické svou schopností pasivně či aktivně měnit svůj objem. Tuto schopnost mají především tepny, proto ve stěně musí mít obsažen kolagen, elastin a hladkou svalovinu. Vlákna kolagenu a elastinu zajišťují elastické napětí cév a tím vyrovnávají pulzaci krve. Tyto cévy se nazývají pružníkové.

Muskulární cévy naopak mají ve stěně vysoký podíl vláken hladké svaloviny. Nejsou příliš pružné, ale mohou svůj průřez měnit aktivně a tím regulovat průtok krve (vasodilatace, vasokonstrikce) Na vysvětlení odporu, který řečiště klade průtoku krve, se dá analogicky použít elektrický odpor. Mechanický odpor $R$ určitého úseku cévy vypočítáme z poměru tlakového spádu $\Delta p$ a průtoku $Q$.

$R={\Delta p \over Q}$

Dosazením Hagen-Poiseuillova zákona získáme vzorec:

$R={8\eta \Delta l \over \pi r^{4}}$

Proudění krve

Fyzikální zákony proudění

Pro proudění krve platí Bernoulliův zákon:

${\frac {1}{2}}\rho v^{2}+h\rho g+P=konst.$

Použití tohoto zákona je pouze aproximální - pouze se přibližuje reálnému stavu. Bernoulliho zákon totiž předpokládá použití ideální kapaliny a také to, že molekuly kapaliny se pohybují v celém průřezu trubice stejnou rychlostí. V cévách je rychlost proudění krve různá, u stěny cévy je nižší než v jejím středu. Nicméně ani tento model není přesný, jelikož takovýto parabolický rychlostní profil je jen v malých arteriích. S rostoucím průřezem arterie se rychlostní profil zplošťuje až do té míry, že v hrudní aortě proudí krev v celém průřezu téměř stejnou rychlostí.

Množství kapaliny protékající trubicí o určitém objemu za jednotku času - průtočný objem, představuje Hagen-Poiseuillův zákon:

$Q={\frac {\Delta P\pi r^{4}}{8L\eta }}$

Čtvrtá mocnina průřezu trubice v tomto zákoně vysvětluje, proč je tak nebezpečné zúžení průřezu cév při některých nemocech (ateroskleróza). Už minimální zúžení cévy totiž zapříčiní významné snížení průtoku krve touto cévou.

Na základě vlastností cévy, rychlosti proudění a svých fyzikálních vlastností může krev v této cévě proudit buď laminárně anebo turbulentně. Laminární proudění se vyznačuje tím, že jednotlivé vrstvy kapaliny se pohybují paralelně s podélnou osou cévy. Průtočný objem při laminární proudění lineárně stoupá až dosáhne kritické hodnoty, začnou se objevovat víry a přejde tak na proudění turbulentní. Tato kritická hodnota (Reynoldsovo číslo) závisí na poloměru trubice, rychlosti a fyzikálních vlastnostech protékající kapaliny. Všeobecně se jako kritická udává hodnota 1000.

$Re={\frac {v\cdot \rho \cdot r}{\eta }}$

Proudění krve v kapilárách

Kapiláry představují nejvýznamnější část cévního systému, protože právě zde dochází k výměně dýchacích plynu mezi krví a intersticiálním prostorem. Výměna plynů skrz kapilární stěnu probíhá na základě rozdílných tlaků na arteriálním a venózním konci kapiláry. Na arteriálním konci je tlak 4,6kPa, na venózním konci je tlak 2,2kPa.

Voda a v ní rozpuštěné látky prochází kapilární stěnou na základě difuzních mechanismů: filtrace a resorpce.

Osmotický tlak krevních bílkovin neboli Onkotický tlak působí proti tlaku hydrostatickému a ovlivňuje filtraci ve venózní části kapiláry.

Hagenův-Poiseuillův zákon

Hagenův-Poiseuillův vztah (čti hagen, poazej) říká, že objemový tok $Q$ (objem za čas) tekutiny v trubici je přímo úměrný rozdílu tlaků $\Delta {P}$ na začátku a na konci trubice

$Q={\frac {\Delta {P}}{R}}$

Konstanta úměrnosti $R$ vyjadřuje odpor. Zahrnuje v sobě viskozitu tekutiny $\eta$, čtvrtou mocninu poloměru trubice $r$ a délku trubice $L$ podle vztahu:

$R={\frac {8\eta L}{\pi r^{4}}}$

Kombinací těchto dvou rovnic do jedné získáme Hagenův-Poiseuillův vztah v plném tvaru:

$Q={\frac {\Delta {P}\cdot \pi r^{4}}{8\eta L}}$

Hagenův-Poiseuillův vztah můžeme přirovnat k Ohmovu zákonu v elektřině: rozdíl tlaků odpovídá elektrickému napětí, objemový tok odpovídá elektrickému proudu a odpor trubice elektrickému odporu.

Závislost odporu $R$ (a tedy i objemového toku $Q$) na vysoké mocnině poloměru $r$ má praktický význam při regulaci toku krve cévou – i malé zúžení arterioly vede k rychlému snížení průtoku krve (viz dále).

 Podrobnější informace naleznete na stránce Hagenův-Poiseuillův zákon/Odvození.

Příklad využití ve fyziologii

Podívejme se na aplikaci tohoto vzorce v ledvině.

• $Q$ je množství krve, které proteče ledvinou za jednotku času (průtok)
• $\Delta P$ je rozdíl tlaku mezi a. renalis a v. renalis
• $R$ je celkový odpor renálního krevního řečiště

Je žádoucí, aby průtok $Q$ zůstal relativně nezávislý na výkyvech krevního tlaku v těle. Na druhé straně ale $\Delta P$ závisí na tlaku krve. Zvýší-li se $\Delta P$ (vlivem změny krevního tlaku), pak by měl následovat vzestup $Q$. Vzestup tlaku v cévách ledviny ale reflexně vyvolá jejich vazokonstrikci, tedy zmenšení poloměru cévy $r$. Menší poloměr znamená výrazné zvýšení (čtvrtá mocnina) odporu $R$. Nárůst odporu (jmenovatel) tedy vykompenzuje nárůst tlaku (čitatel), čímž se průtok prakticky nezmění. Tento mechanizmus se nazývá myogenní autoregulace.